(ЭСВП)

Существующее положение не дает ответа на важные вопросы

В современной метрологии трудно найти более спорную тему, чем вопрос о том, какой величиной является угол поворота: основной или производной, размерной или безразмерной. Несмотря на то, что по этому поводу имеется не только общепринятое мнение о том, что угол поворота является производной и безразмерной величиной, но и стандарты, подтверждающие это мнение, вопросы все равно остаются. Вот главные из них.

1. Если угол поворота является производной физической величиной, то почему в физике нет уравнения, которое определяет его по основным физическим величинам?
2. Если угол поворота является безразмерной величиной, то почему он имеет в СИ единицу измерений?
3. Если угол поворота имеет в СИ единицу рад (радиан), то почему в той же СИ nолько единицы угловой скорости и углового ускорения включают в себя единицу рад, а другие единицы производных физических величин, определяемых уравнениями, в которые входят угол поворота или его производные по времени, не включают в себя единицу рад?

Например, путаница при оперировании единицей угловой скорости и единицей частоты вращения, куда единицу рад не входит, привела к появлению работ А.Митрохина (1996, 2000), в которых приведены примеры расчетных ошибок в научно-технической литературе вследствие этой путаницы и выражено убеждение в необходимости ее устранения. А неясность с применением единицы рад в других величинах вращательного движения привела к появлению работы И.Когана (1998), выдвинувшего ряд предложений, анализируемых в данном разделе сайта.

Подвергнем критическому анализу различные определения “углового перемещения“ и “угла поворота“, чтобы понять, что их общепринятые определения недостаточно обоснованы. Заметим попутно, что точно такая же ситуация наблюдается и в литературе на английском языке (“angular displacement“ и “angle of rotation“), и в литературе на немецком языке (“Winkelverschiebung“ и “Drehwinkel“).

Угловое перемещение и угол поворота − координаты состояния
разных форм движения

Процитируем определение углового перемещения из метрологического справочника А.Чертова (1990): “Угловое перемещение dφ – векторная величина, модуль которой равен бесконечно малому углу dφ поворота тела“. Во всех русскоязычных словарях по физике определение углового перемещения, как ни странно, отсутствует. Лишь Интернет-энциклопедия Википедия в англоязычном варианте дает такое недостаточно четкое определение: “Угловое перемещение тела – угол в радианах (градусах, оборотах), при котором точка или линия вращаются определенным образом вокруг определенной оси“.

Согласно лексическим нормам любого языка перемещение означает смену места. Но с этой точки зрения слово “перемещение“ не подходит для описания вращательной формы движения. Ведь при ней тело вращается либо вокруг центра вращения, совмещенного с началом координат выбранной системы отсчета, либо вокруг оси вращения, проходящей через начало координат. То есть вращающееся тело в выбранной системе отсчета не меняет свое место (не перемещается). Перемещаются лишь точки вращающегося тела, но не тело в целом. Следовательно, слово “перемещение“ по отношению к вращению тела неуместно.

Точки вращающегося тела действительно перемещаются, но каждая из них перемещается по своей круговой орбите. Значит, по отношению к точкам вращающегося тела можно вести речь не о вращательной, а об орбитальной форме движения, об орбитальном перемещении точек. В реальном же движении точек по их орбитам нас интересует пройденный ими по орбите путь, а не их перемещение (см. страницу, посвященную видам движения, где показано различие между перемещением и пройденным по орбите путем). Если же говорить о вращающемся теле в целом, то можно сделать вывод, что к вращению тела применим только термин “угол поворота“.

Таким образом, мы приходим к выводу, что угол поворота и угловое перемещение, как координаты состояния разных форм движения (вращательной и орбитальной), являются, несмотря на одинаковые размерности, разными физическими величинами. Значит, у нмх должны быть разные определяющие уравнения. И вышеприведенное определение, указывающее на то, что угол поворота является модулем углового перемещения, следует считать неверным.

Нет доказательств того, что угловое перемещение и угол поворота безразмерны

Продолжим цитировать справочник А.Чертова (1990): “Из определения углового перемещения следует, что это безразмерная величина, выражаемая в радианах“. Но и это неверно. Из вышеприведенного определения углового перемещения вовсе не следует вывод о том, что оно является безразмерной величиной. Из него следует совсем другой вывод, а именно о том, что угловое перемещение и угол поворота должны иметь одинаковые размерности и единицы измерений. В СИ принято считать угол поворота безразмерной величиной, поэтому его безразмерность перенесена и на угловое перемещение.

Но где, собственно, доказательство того, что угол поворота и угловое перемещение безразмерны? Да, математики условились о том, что плоский угол определяется отношением длины дуги окружности к длине ее радиуса. Но, во-первых, плоский угол – понятие математическое, а угол поворота – физическая величина, это свойство вращательной формы движения. Во-вторых, если математики условились, то это еще не означает, что они это доказали. На странице, посвященной определениям плоского угла, показывается противоречивость между существующим в математике определением плоского угла и способом его оценки в физике.

Уместно также привести мнение известного российского физика и механика Л.Седова (1977): “Подразделение величин на размерные и безразмерные является до некоторой степени делом условности. Так, например, угол мы называем безразмерной величиной. Но известно, что углы можно измерять в радианах, в градусах, в долях прямого угла, т.е. в различных единицах. Следовательно, число, определяющее угол, зависит от выбора единицы измерения. Поэтому угол можно рассматривать и как величину размерную“.

Угловое перемещение и угол поворота − скаляры или векторы

И еще раз процитируем справочник А.Чертова (1990): “В отличие от углового перемещения конечный угол поворота φ тела является величиной скалярной, а не векторной“. А в учебнике по физике И.Савельева (2005, кн.1) приведено доказательство того, что угловое перемещение считается векторной величиной лишь при условии, что оно имеет бесконечно малое значение. Это доказательство основано на том, что “путь, проходимый любой точкой (вращающегося) тела при очень малом повороте, можно считать прямолинейным“.

В этом доказательстве мы сталкиваемся с математической абстракцией, которая противоречит условию реальности. В реальности любая прямолинейная траектория является дугой окружности, соприкасающейся с траекторией в данный момент времени и в данной точке, с радиусом кривизны траектории, значение которого стремится к бесконечности. Так что приводимое у И.Савельева допущение необоснованно объединяет две различные формы движения: прямолинейную и вращательную.

Важность изучения свойств углового перемещения и угла поворота?

Исключительная важность вопроса о свойствах углового перемещения и угла поворота подтверждается следующей выдержкой из Википедии: “В современном применении почти вся научная реальность строится на понятии углового перемещения. Можно сказать, что все измерения физических свойств составляются из понятий углового перемещения некоторой рассматриваемой системы. Время – это мера представления углового перемещения между двумя событиями, связанными с одним телом, пространство – это мера представления углового перемещения между двумя событиями, связанными с двумя различными телами, масса – это функция времени и пространства“.

Почему же по отношению к таким важнейшим, основополагающим понятиям, как угловое перемещение и угол поворота, отсутствуют строгие доказательства, оправдывающие современные метрологические стандарты? Привести соображения по этому поводу нам поможет тщательный анализ тех ошибок, которые скрыты в определении математического понятия “плоский угол“. Этот анализ проведен на следующей странице, посвященной плоскому углу.

Литература

1. Коган И.Ш., 1998, О единицах измерения физических величин, описывающих вращательное движение. – Киров, “Машиностроение. Конструирование и технология.”, Сборник научных трудов ВятГТУ, 3, с.62-64.
2. Митрохин А.Н., 1996, О взаимодействии размерностей в математических преобразованиях. – М.: ”Транспорт”, 102 с.
3. Митрохин А.Н., 2000, Математика и ее роль в анализе размерностей и образовании единиц измерения. – М.: ”Законодательная и прикладная метрология”, № 5, с.с.39-47
4. Савельев И.В., 2005, Курс общей физики (в 5 книгах). – М.: АСТ: Астрель
5. Седов Л.И., Методы подобия и размерности в механике.- 8-е изд., - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 440 с.
6. Чертов А.Г., 1990, Физические величины. – М.: Высшая школа, 336 с. 78.


© И. Коган Дата первой публикации 15.03.2008
Дата последнего обновления 16.09.2010